廣義相對論與幾何學
愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。不過，在愛因斯坦建構重力方程式的過程，幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色......中研院數學所研究員鄭日新，在2019 年院區開放日的科普演講「幾何學--重力研究的好幫手」，跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。
先別管相對論了，你真的懂幾何學嗎？
大家都聽過「一個成功的男人，背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過，一個成功的物理學家，背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功，就是一個經典的例子。
「幾何學，不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形？怎麼會跟相對論扯上關係呢？」
我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」，是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎，歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何，例如：建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念，就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。
黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。
黎曼幾何這個「和座標無關」的特性，後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。
不受座標影響的重力
愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後，便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中，空間中的質量分布會產生重力場，也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布，就能找出每一點的重力位能。
然而，如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量，立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定，推導出質量會隨著速度而改變，這意味著，當兩個人所在的慣性座標不同──例如一人靜止於地面，另一人在等速前進的火車上，兩人看待的物體質量也會不同。那麼，宇宙中的質量分布及重力場，不就會受到座標的不同影響了嗎？
由於在愛因斯坦發展重力理論之前，著名的數學物理學家馬克士威（James Clerk Maxwell）已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下，數學形式都不會改變，稱為符合「勞倫茲轉換」（Lorentz transformation）。因此愛因斯坦深信，重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式，不會因為座標改變而不同。於是，愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。 （相關報導： 重力波到底是什麼？很重要嗎？精美圖解與模擬影片讓你秒懂科學家如何測量重力波 ｜ 更多文章 ）
重力場和因電磁感應而產生的電場類似，其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言，至少在他的附近，重力場並不存在。──愛因斯坦
黎曼幾何裡的寶藏
愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。牛頓古典力學中，質量分布是重力場 (位能) 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個 (也必須是二階) 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。
