數學家這樣思考！德國一流大學教你秒殺棘手問題

我們可不可以先假設某個斷言的反面是對的，然後透過無瑕可擊的邏輯推導，得出與所假設事實矛盾的結論，以此來證明原本的斷言是對的？

歐幾里得最喜歡用的反證法，是最精良的數學武器之一。這比任何一個棋士所用的戰術都來得高明。棋手可能犧牲一個士兵或其他棋子，但數學家可是犧牲整盤棋。      ─哈第（G. H. Hardy）

今日特餐─沒有冰淇淋！  ─瑞士山區一家餐廳的看板

「我沒看見街上有人，」愛麗絲說道。「真希望我有這樣的眼睛，」國王慍怒地回道。「什麼人也看不見！而且是在這種距離下！我甚至可以在這種燈光下看見所有的人，只是要費點力！」           ─卡羅（Lewis Caroll）：《愛麗絲夢遊仙境》

如果你沒錯，你就對了。        ─ Sunny Skylar 歌曲〈Gotta be this or that〉中的一句歌詞

反證法（歸謬證法）是一種邏輯論證方式，透過證明發現一個說法之中包含矛盾，進而反駁。我們會證明，若假設這個說法是對的，就會導致邏輯上的矛盾，或是和一個先前已經認可的論點產生矛盾。

這個思考方式常用於數學上的間接證明法。間接證明或反證法的特點在於，並非直接推導出所要證明的敘述A，而是利用反證法，推翻敘述A 的反面，即非A。會導致矛盾的假設，就是錯的、可以被否定的。在二值邏輯中，每一個命題不是真就是假，原敘述的反面證明為假，就表示這個敘述本身為真。沒有第三種可能。這叫做「排中律」。

早晨講堂的相互辯證

「您說的不正確。但也不能說是不對。」

─物理學家包立（Wolfgang Pauli）跟一個學生如此說。

從原本要證明的敘述A 的反面敘述非A，來導出矛盾的結果，我們稱為輔助式的演繹推理。演繹推理的涵蓋範圍和複雜度依情況各有不同。透過演繹推理，可能導出三種矛盾的結果。第一種矛盾是，最後得到的結論是「非A」的反面，也就是可以從「非A」推得A。第二種是結論自相矛盾。第三種矛盾是，結論顯然是一個錯誤的命題。

反證法具有以下的邏輯結構：

(1) 敘述A

演繹推理

(2) 條件（或假設）非A

(3) 推論（沒有明顯的矛盾）

(4) 推論（顯然矛盾）

(5) 關於敘述A 的結論

邏輯論證是可以被學會的。但不注意一些事情的話，就有可能出錯。所以現在我們先來仔細探討何謂邏輯論證，以及邏輯論證的有效性。

所謂論證，就是指某個斷言之所以成立的理由。結構上，論證是由一個或數個條件（前提）和一個推論（結論）組成。所以，論證是一組語句。重要的是，前提和結論都必須是被真值定義的語句，意思是這些語句不是真，就是假。亞里斯多德將命題定義為語言結構，非真即假。

以下便是幾個命題的例子：

「我是柏林人。」

「如果他們還沒死的話，仍幸福快樂地活到現在。」

「鴿子很討厭。」

以下的語句則不是命題：

「請移駕至公園街。」

「千萬別相信您是誰。」

「如果你做了這件事，便能得到上帝的憐憫。」

「這個句子是錯誤的命題。」

「十二碼罰球。」 （相關報導： 會說25語的他，在語言教育最失敗的國家，發現學習的關鍵！ ｜ 更多文章 ）

「1/0 = 2。」（這不是命題，因為1/0 在數學上沒有定義。）

「如果結束就好了。」

論證具備推理的特點。一個論證的邏輯有效性，可以用「若⋯⋯則⋯⋯」的關係式來表達。如果一項論證的條件句皆為真，那麼結論必定也為真。意思就是，真確性從條件轉移到結論。如果一個論證是有效的，那麼結論的真確性必定得自前提的真確性。如果有效論證的前提皆為真，那麼其結論必定為真。

重要的是，在一個有效的邏輯論證中，僅僅只有下面這種情況不會出現：所有前提皆為真，但結論卻為假。前提和結論真假值的其餘組合，在有效的邏輯論證中都有可能存在。如果其中一項前提為假，那麼結論有可能（但不一定）為假；相反的情況也有可能存在。前提和結論的真假，並不保證論證是不是有效的。我們必須分清命題真值與論證有效性之間的差異。下面是幾個例子：

a. 前提和結論均為假的有效論證

前提1：所有的哺乳動物都能飛。

前提2：所有的馬都是哺乳動物。

結論：所有的馬都能飛。

b. 前提和結論均為真的無效論證

前提1：所有哺乳動物皆有一死。

前提2：所有的馬皆有一死。

結論：所有的馬都是哺乳動物。

最後我們用一個幽默的、和實際情況相關的例子，當做這段補充的結尾。某天，福爾摩斯和華生醫生去露營。在一塊林中空地上他們架起帳篷，進入夢鄉。夜裡福爾摩斯將華生叫了起來：「華生，你抬頭看看，然後告訴我你看到什麼。」

華生回答：「我看到數不清的星星。」

福爾摩斯：「你得出什麼結論？」

華生思考了一會兒，然後說：「從天文學來看，這表示一定有上百萬的星系以及數十億的星星。就占星術而言，顯示土星落在獅子宮。就時間上，現在是半夜3:15。神學上的意義是，和偉大的上帝相比我們是如此微不足道。從氣象學看，明天有可能是晴天。福爾摩斯你有什麼結論？」

福爾摩斯沉默片刻，便說道：「華生你這個笨蛋。這表示有人偷了我們的帳篷。」

現在回到反證法。我們能夠推翻其相反命題，來證明一個命題。若可以用一個有效的論證，得出錯誤的結論，就能證明這個相反命題是錯的。因為假如相反命題為真，那麼結論也必定為真。這可說是數學史和哲學史上十分古老的論證手法，可回溯至古希臘時代。 （相關報導： 會說25語的他，在語言教育最失敗的國家，發現學習的關鍵！ ｜ 更多文章 ）

反證法的著名例子，就是伽利略用來反駁亞里斯多德的論證。亞里斯多德認為重的物體墜落得比輕的物體還要快，伽利略不那麼認為。在《關於兩門新科學的對話》一書中，伽利略用了一個想像實驗來論證：假設重的物體比輕的物體掉得快，那麼將兩個物體用一條無重量的繩子綁在一起之後，墜落速度應該介於輕、重兩者之間。因為重的物體會將輕的物體一同往下拉，使它加快，而輕的物體會拖住重的物體，讓它放慢。但另一方面，兩物體綁在一起的總重量卻比重的物體還要重，墜落速度理應比重的物體來得快。這就是出現矛盾了。所以原先的假設是錯的，輕、重兩個物體的墜落速度並沒有快慢之分。唯有假設兩物體掉落得一樣快，矛盾才會真正消失。這是用無比優雅、純憑抽象思考的證明方法，來證明落體的性質。沒有任何實驗，一點實際操作的跡象也沒有，只有邏輯推理。

效法格特‧ 克魯斯（Gerd Kruse）

農夫克魯斯因為一項申請遭地方議會拒絕，憤怒之下就說有半數的議會代表都是白癡。這句人身攻擊惹來的訴訟判決為，克魯斯必須收回自己的話。在地方報紙上，克魯斯做出以下聲明：「我在這裡鄭重收回自己說出的那句話：『半數的議會代表都是白癡。』此刻起我的聲明要改為：『半數的議會代表都不是白癡。』」

第二個反證法的例子比較現代，不只是近代的，而且還具有未來感：有個程式設計師宣布自己設計了一個下棋必勝的程式。他號稱這個程式不管是下黑棋還是下白棋，不管對上哪個對手，一定勝利。他聲稱自己的斷言有數學證明當靠山。你認為呢？

嗯，程式設計師的說法不可能為真。假設真的有一個能下完美棋局，打遍天下無敵手的程式。那麼我們就可以在兩台電腦同時裝上這個程式，然後對戰。根據假設，不管下黑棋還是白棋、遇到哪個對手，程式都能贏。如果程式和自己對打，那麼兩邊應該同時贏棋。但在棋賽中，這種情況不可能發生。於是，有完美棋局的假設會導致荒謬的結果，所以程式設計師的說法不可能正確。邏輯上看，程式設計師所標榜的程式特點並不可能實現。

現在讓我們踏進分數的世界，來找看看有沒有最小的正分數。假設一個最小分數的形式為

a/b

a 和b 皆為正整數。在此情況下我們也來運用新學到的工具。反證法竟然也可以簡潔得令人吃驚。假設真的有一個最小正分數，我們令它為a*/b*，那麼

a*/(2b*)

必定也是分數，其次，它必定為正數，第三，還要比a*/b* 來得小。所以a*/b*不可能是最小的正分數。就這樣我們得到了矛盾。結論和精隨：最小的正分數並不存在，若它真的存在，必定造成邏輯上的矛盾。

定理和逆定理

K 先生的哲學：所有事情都很有趣。

特例（他的有趣定理）：所有的自然數都很有趣。

利用反證法來證明：假設情況相反，那麼就存在一個不有趣的最小自然數。但是這個數顯然十分有趣，這與說它不有趣的假設相矛盾。所以剛剛的假設必定為假，假設的反面才是正確的。因此這個說法得證。

K 太太的逆定理（她的無聊定理）：所有的自然數都很無聊。

透過反證法來證明：假設m 是個不無聊的最小自然數。誰對這個問題

有興趣？故得證。

歐幾里得在兩千多年前就運用了功能強大的反證法，來證明質數有無窮多個。在《幾何原本》這部有史以來最成功的數學著作中，他寫道：「永遠有比已經找到的質數更多的質數。」（第九卷，命題20）

三句話看透世界文學：歐幾里得的幾何原本

一個點就是去掉了兩條邊的角。

設立定義和公設，然後對形狀和數作出推斷。

推敲出的是永世通用的幽默、情色、毒品和解放。

 質數是只能被1 和自己整除的數；因此，它們沒有真正的因數，就像數字界的「不可分割的」原子。歐幾里得拿相反命題當作假設，假設質數是有限多個，並依照大小排列好：

p1 小於p2 小於p3⋯⋯小於pr

接著，他利用巧妙的手法，將所有質數相乘，然後再加上1。所得的數我們稱為P：

P = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ⋅ ⋯ ⋅ pr + 1

關於P 這個數，我們知道些什麼呢？首先，P 大於pr，也就是說，P 比我們所假設最大的質數要大，所以不可能是質數。那麼P 就一定可以寫成質數的乘積。但因為有被加數 + 1，P 無法被p1、p2、p3、⋯⋯、pr，也就是無法被任何一個質數整除。 （相關報導： 會說25語的他，在語言教育最失敗的國家，發現學習的關鍵！ ｜ 更多文章 ）

因此出現了矛盾。得出的結論可說是十分完美。因為我們的推理方式在邏輯上無懈可擊，所以這個矛盾一定是透過一開始的假設進入到思考過程。因此，一開始質數有限多的假設為假，而相反命題為真。這個相反命題就是：質數有無限多個！

多麼美麗的證明。世界遺產的一部分，一種思想財富。一個永生不朽的證明。

熟練的力量可以編織永恆的聯盟

數學家諾加‧ 阿隆（Noga Alon），臺拉維夫大學的數學教授，有一次在以色列的廣播節目中談質數。他提到歐幾里得在2,300 年前便證明了質數有無限多個。主持人繼續問：「那它現在還正確嗎？」

談到這裡，我們不能不提一下跟質數息息相關的另一個著名數學問題，即孿生質數問題：兩者相差2 的一對質數，例如3 和5，17 和19，就稱為孿生質數。孿生質數也有無窮多對嗎？

這個問題我們還無法回答。目前（直到2008 年12 月）還沒有人知道答案。絞盡腦汁還是沒人能解答這個兩千多前提出的問題。 （相關報導： 會說25語的他，在語言教育最失敗的國家，發現學習的關鍵！ ｜ 更多文章 ）

知識之道

「我們知道有些東西是我們知道的。我們也知道有些東西是未知的，而且我們知道它是未知的。我們知道有些東西是我們不知道的。但是也有些東西，我們不知道自己並不知道。」

─美國前國防部長倫斯斐（Donald Rumsfeld）在2002 年2 月12 日針對尋找奧賽瑪‧ 賓拉登所發表的言論。（出處：The poetry of D. H.Rumsfeld，作者H. Seely）

也許這是倫斯斐最持久，針對我們生存的世界發表的智慧之言，關於他對「知識」的哲學看法，也是一個讓他至少與孔子的眼界提至相同境界的看法，因為孔子說過：「知之為知之，不知為不知，是知也。」

 本文經授權轉載自漫遊者文化《德國一流大學教你數學家的22個思考工具》