胡一天專欄:金融大海的數理波紋

2017-02-09 06:40

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假設r趨近於零,同時大盤商可以幾乎無摩擦力地買賣股票,上述公式等於在每一個微小的轉瞬之間,大盤商「生產」這檔期權做市的利潤趨近於零,前提是大盤商可以消除掉股價的一階影響,但無法消除掉二階影響。因此大盤商如果要從衍生品當中套利,必須要承擔波幅的變動風險。如果在到期日前在市場中量度到的實際股價波幅比當初在給期權定價時的隱含波幅低,相當于買入期權的投資人高估了股價變動的波幅,賣出期權的大盤商所賺取的利潤,正比於這兩種波幅的差額。這個推論的含義,是一個被消除了股價一階影響(即所謂的delta hedged)的「股票+期權+債券」的組合,可以視為針對股價波幅的預測值與實際值之間差距的賭局,勝負誰屬,交由時間判斷。

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這個看似嚴謹的數理模型理論,其實隱藏了預測未來股價波幅的方法論與金融衍生品定價模型的本質問題。我在紐約曾師從過的Emanuel Derman,是世界知名的金融工程師,他最近將在紐約哥倫比亞大學講授金融衍生品與波幅建模的研究生講義結集,出版了一本新書《The Volatility Smile》,正好為這個本質問題的研究與實務上面臨的挑戰提供了一個豐富的階段性總結。

紐約哥倫比亞大學金融工程教授Derman與其新作。(作者提供)
紐約哥倫比亞大學金融工程教授Derman與其新作。(作者提供)

在1973年BSM模型被以正式學術論文的形式發表之前,股票與股市指數期權的交易已經發展了很多年。在那個沒有數理金融的蒙昧時期,期權大盤商的交易員在為不同到期日與不同履約價的期權定價時,多半依據經驗法則與實戰中培養出來的直覺。BSM模型的橫空出世,提供了切合交易實務需求的定價與報價機制,也催生了芝加哥期權交易所(CBOE)的創辦與勃興。因為BSM模型假設股價的波幅是一個常數,不同的股票因為其風險不同,會有不同的波幅。從BSM模型的角度來看,理論上一檔股票只會有一種波幅。這個波幅若當成是BSM的輸入,在給定其他變量的前提之下,可以算出某檔期權的在當下的理論價值。反之,若將某檔期權的市價視為輸入,在給定其他變量的前提之下,可以用BSM公式逆推出一個可以讓理論值符合市價的「隱含」波幅。理論上,隱含波幅是從包含了市場對該檔股票未來走勢的預期的期權價格中推算出來的預測,因此也就可以視為對股價在該檔期權到期日前波幅的估計,不會受到履約價的影響。在1987年紐約「黑色星期一」股災之前,這個假設與實證上觀測到的數據相符(下左圖),但在1987年大崩盤之後,履約價離現貨價愈遠的期權隱含波幅,反而愈高(下右圖)。

隱含波幅的微笑。(資料來源:The Volatility Smile,作者提供。)
隱含波幅的微笑。(資料來源:The Volatility Smile,作者提供。)

從市場集體心理面來看,由於1987年黑色星期一時美股標普指數全日暴跌近23%,是一個統計上的極端黑天鵝事件。股災之前,市場參與者往往認為這種極端事件只是理論上參考,在股災之後可能開始認識到投保巨災險的必要,增加的需求導致華爾街生產與對沖價外期權的潛在賠付金額增加,因此導致一檔股票用BSM公式在不同履約價上逆推出來的波幅不同。這個被稱為「隱含波幅微笑」(volatility smile)的現象,顯示了全球金融衍生品的交易與風險管理的基礎模型有缺陷。如何彌補這個缺陷,就成了金融工程產業的核心增長動力,也是全球金融市場內秉的系統性風險關鍵指標之一。

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