想像你計劃在兩天後舉辦一場烤肉活動。你已經買好木炭、肉片、土司和啤酒，並且邀請了好友一同參與。但你突然開始擔心天氣問題，趕緊打開手機查看天氣預報。預報顯示降雨機率為10%，這代表什麼意思呢？這個數字又是如何得出？
目前我們已經瞭解，各種日常生活現象得以如何使用簡單的數學結構來表示。日常生活現象的行為可以使用線性、二次曲線或指數曲線清楚描述。然而，討論了這麼多利用曲線描述現象的例子，可能會讓人誤解，以為各種現象都適用。實際上，並非所有系統都如同這些近似曲線呈現的那樣，能夠準確預測未來值。
首先，儘管天氣預報顯示降雨機率為10%—這個數字代表天氣狀況帶有隨機元素，但天氣本身很可能根本並非隨機系統。大氣運動受到物理定律控制，因此理論上如果我們全知全能，能夠極為準確知道每個空氣粒子的位置和速度，就能計算出每個粒子未來的移動路徑，加上考慮太陽輻射、粒子碰撞等等因素，就能知道烤肉活動當天是否會下雨。
當然，這對我們來說是不可能的任務！我們既無法準確測量每個粒子的各種數值，就算真的做得到，也沒有能力求得方程式的解。換句話說，我們永遠無法提出完美的天氣預測，而會使用以下方法做出粗略預測。
舉例來說，如果將大西洋劃分為許多邊長10公里的正方形區塊，然後測量每一區塊的狀態，就能開始思考各區塊隨時間經過的狀態變化。如果某個區塊中有一片雲，而風正以每小時20公里向東吹，則可以預測一小時後，雲會向東飄20公里，相當於兩個區塊，然後便可如此繼續推論。如果有大型電腦的話，就能夠繼續計算未來的變化，得出未來幾天的天氣預測。
當然，這種做法並不完美。我們只能得到各區塊某一小時的狀態，然而每個區塊內實際上都還會有細微的變化。如果能夠得到更精細刻度下（例如劃分成邊長1公里的正方形區塊）的天氣狀況測量結果，並且以五分鐘為單位考慮天氣變化，加上擁有更強大的電腦來處理這些數字，則可以得到更準確的預測結果。本章的主題就是要將空間和時間劃分成更細小的區塊，並且說明現象變化過程如何在這些小尺度下遵循規則。
我們先來思考一下，天氣預報提到的降雨機率10%代表什麼意義。若是有全知全能的人能夠解出運動方程式，並且每次都會得到相同答案—他將相同的測量數值輸入電腦十次，由於電腦會遵循預先設定的邏輯和計算規則，應當每次都會得到相同結果。也就是說，我們可以預期每項預測都是100%必定發生，或是0%完全不可能發生！
事實上，10%的結果代表我們承認了分割空間和時間的做法以及測量方法皆不完美。我們隨後將會看到，決定天氣的方程式實際上十分瘋狂和混亂。大家可能聽過一個問題：「一隻蝴蝶在巴西拍動翅膀，有可能在美國德州引發一場龍捲風嗎？」這個問題最初是一篇1972年論文的標題。事實確實如此，測量值微幅的改變，都可能對系統的結果造成巨大影響。
為了解決這個問題，預報員同意風速每小時20公里的測量結果並非絕對準確。為了降低測量結果不完美的問題，預報員小幅度調整測量值，藉此蒐集一系列預測結果。如果風速不是正好每小時20公里，而是每小時19.5、21、18.7或20.5公里呢？降雨機率10%正好對應到這一系列的預測結果中，約有10%顯示在烤肉活動當天會下雨。
然而，值得注意的是，涉及複雜系統的計算很可能會非常微妙，因此能夠合理認為計算結果帶有一定的隨機性。我會在本書的第二單元進一步討論隨機性的價值。然而現在，我們要考慮的是相對簡單的過程。
作者介紹：奧利弗．強森
英國布里斯托大學（University of Bristol）資訊理論教授、數學學院統計科學研究所所長。曾任劍橋大學研究員和劍橋大學基督學院研究員。常擔任 BBC 廣播四臺節目來賓，並為《旁觀者》雜誌撰稿。《泰唔士報》、《衛報》、《每日電訊報》、《紐約時報》都曾引用過他的文章。
推特帳號是@BristOliver，時常推文發表有關數學、音樂和阿斯頓維拉（Aston Villa）足球俱樂部的文章。現居於英國布里斯托市。
本文經授權轉載自天下文化《社會菁英必備的數學素養》
責任編輯／郭家宏
