股價連續漲3天，隔天再漲的機率比較高？專家以丟硬幣為例，說明股市預測的荒謬

我們追蹤資料的目的，就是為了想要解釋數字的涵義。例如在大選前夕，某些人押注了特定政黨或候選人勝選，因此他們往往就會說服自己，民意調查結果存在某種模式或趨勢。但這通常都只是隨機波動造成的結果罷了。

金融領域也常會觀察到類似現象。如同在第10章〈漫步、排隊和網路〉中提到，最自然也最符合股價變化的模型就是布朗運動。布朗運動可以看作丟獨立硬幣的一系列結果，類似醉漢走路，漲跌機率相等，移動距離也對稱。這意味著，如果股價真的可以用布朗運動來模擬，基本上就完全無法預測。即使如此，仍有一大群「線仙」在追蹤股價資料線圖，試圖找出特定模式，並且進行預測。然而，目前並無法證實這是有效的策略。

其中一個問題在於，正如同人類並不擅長寫出隨機數字，人類也不擅長判斷數字是否真的是隨機產生。例如，假設我們看到有人提供了一組聲稱是實際丟了200次硬幣產生的結果，我們可能會指出其中有連續7次出正面，足以證明硬幣並不公平，或者各個結果間並非獨立產生。然而，結果中出現連續7次正面，才真的是丟200次硬幣預期會出現的隨機結果。事實上，如果沒有出現連續6次或7次正面，才真的更可疑。

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還有一個類似現象，說明看似巧合的現象，其實發生機率遠比人們所認為的還要高，那就是「生日問題」。假設一間房間中有23個人，則約有50%的機率，其中兩個人會是同一天生日。如果房間中有40個人，機率會上升到90%，如果有60個人，機率會超過99%。如此高的機率可能會讓人感到意外，但關鍵點在於清楚瞭解，「巧合」出現的機會遠比你想像的還要多。如果房間中有23個人的話，兩兩配對，就有253組人有機會同一天生日，也就是說有253次巧合發生的機會。如果有60個人的話，兩兩配對就能夠形成1,740組組合，也就是有1,740次巧合發生的機會。

丟200枚硬幣也是相同狀況，其中會有194組長度為7的結果，每一組結果都有1/128的機率出現連續7次正面，因此平均來說，出現7次連續正面並不會特別讓人意外。雖然重疊的組別之間並非完全獨立，例如第1次到第7次與第3次到第9次的結果並非完全獨立，但如果更仔細分析機率，同樣會算出丟200次硬幣高機率會出現7次以上連續正面。

一般來說，我們往往會說服自己，圖表中的資料存在上升或下降趨勢，但實際上資料往往只是隨機產生。人們目測判斷能力不足的現象，足以支持以下論點：藉由計算最佳擬合線斜率的信賴區間，才能嚴格檢測是否真正存在相關性。如果信賴區間中包含斜率可能為0，則最保守的解釋就是資料的最佳擬合線斜率為0，即資料基本上就是隨機出現，並未存在任何趨勢。

根據相同道理，空間中隨機散布的資料點，某種程度上會傾向於集群（cluster）分布。如果要避免集群分布，則必須將資料點平均散布到空間中，形成規律模式。規律模式並非真正隨機的特徵，但人類並不擅長判斷察覺這一點。

這種現象稱為集群錯覺（clustering illusion），也就是人類會自然而然錯誤推論資料中明顯的結構並非隨機出現。德州神槍手謬誤（Texas sharpshooter fallacy）也是類似的邏輯錯誤。德州神槍手謬誤來自一則古老的故事，故事提到有人先對著牆壁開槍，然後才在子彈集中的位置畫上靶。當然這聽起來十分荒謬，但這個故事說明了一項明確原則，也就是我們需要先提出科學假設，再利用獨立測量的資料來證明假設，而非直接尋找看似能解釋所觀察到模式的假設。

作者介紹：奧利弗．強森

英國布里斯托大學（University of Bristol）資訊理論教授、數學學院統計科學研究所所長。曾任劍橋大學研究員和劍橋大學基督學院研究員。常擔任 BBC 廣播四臺節目來賓，並為《旁觀者》雜誌撰稿。《泰唔士報》、《衛報》、《每日電訊報》、《紐約時報》都曾引用過他的文章。

推特帳號是@BristOliver，時常推文發表有關數學、音樂和阿斯頓維拉（Aston Villa）足球俱樂部的文章。現居於英國布里斯托市。

本文經授權轉載自天下文化《社會菁英必備的數學素養》 （相關報導： 投資人讀華爾街》80/20法則：經濟中的神奇法則 ｜ 更多文章 ）

責任編輯／郭家宏