每次切蛋糕時，總會有人對我說：「你數學最好，交給你來切，平分給大家吧。」然後就把蛋糕刀塞到我手裡，要我面對各種難度不一的幾何問題。
如果要切成四等分、八等分都不會太難，只要先找到蛋糕的圓心，再切兩條通過圓心、彼此垂直的直線，就有四塊蛋糕；如果要八塊，沿著原來的直線再轉45度角，切出另外兩條通過圓心的直線，就能八等分了。這個四等分和八等分切法對正方形蛋糕也管用。
不過想想看，分完四等分、八等分之後，下一個很容易平分蛋糕的人數是多少呢？答案通常是16人。原因是，人類擅長用直覺「切一半」，把四等分再切一半就是八等分，所以四等分的蛋糕數量是2×2=4，八等分是2×2×2=8，再繼續切一半就是16等分，2×2×2×2=16。
2相乘的數量，可以寫成「2的幾次方」，只要人數是「2的二次方」、「2的三次方」、「2的四次方」……理論上都能夠把蛋糕平分給他們。然而，當人數不是2的幾次方，例如有六個人，該怎麼辦呢？
為了因應生活中經常出現的切蛋糕難題，市面上有一種專門的「蛋糕均分器」，它小小一個，邊緣有很多條凹槽，能把圓形均分為等分。你只要把蛋糕均分器插在蛋糕中間，用蛋糕刀循著凹槽往外切出一道道直線就可以了。例如有12個凹槽的蛋糕切分器，能切出12塊一模一樣的蛋糕。如果每間隔一個凹槽才切一刀，會切出六道直線，也就是把蛋糕六等分了。因為12可以被1、2、3、4、6、12這些數字整除，所以你能利用這個均分器，把蛋糕切成不同的等分數，真是很棒的切蛋糕道具！
不過很遺憾的，這個道具有個致命傷，它只適合用來等分圓形的食物，一旦換成正方形蛋糕就沒轍了。
有什麼其他辦法，能把正方形蛋糕分成六等分呢？好在我們有最強的工具——數學，掌握數學原理就能破解很多難題。
請你把鉛筆盒裡的尺拿出來，讓我們來看看，怎樣切出六等分正方形蛋糕吧！學會這一招，不只蛋糕，像是吐司、鬆餅、派……等其他正方形的食物，你也都能試試！
數學實驗
1.準備一份正方形的食物，如蛋糕、吐司、鬆餅……等。也可自己用黏土捏一個模型做實驗。
2.用尺測量蛋糕邊長後，乘以4即是周長，再將周長除以6。以邊長24公分為例，會得出16公分。
3.在正方形周圍每隔16公分做一個記號，總計有六個記號。
4.先從蛋糕的對角線交叉點找到正方形中心點，然後由中心往各個記號切下蛋糕，共六刀。
5.結果切出如下圖的六塊蛋糕。
6.將切出來的六塊蛋糕拿去秤重，比較重量是否相同。
看角度不如看周長
實驗最後，六塊蛋糕秤出的重量應該是一樣的，由於蛋糕厚度相同，代表切出來的每塊蛋糕底面積相等。你可以重複實驗，等分成其他的數量，例如五等分、八等分或十等分，方法都一樣是把周長除以5、8或10，之後再依照固定間隔做記號，最後切分蛋糕。
你也可以用這個方法試試看把蛋糕切成四等分，你會發現，其實從正方形蛋糕中心點切到四個角，就能把蛋糕分成四塊一模一樣的三角形。只是，為什麼這個「等分周長」的方法這麼厲害？明明切出來的形狀不一樣，有些是三角形，有些是四邊形，可是結果卻是每一塊都一樣大！這裡的關鍵知識是：
三角形面積＝底×高÷2
我們來仔細看看切分出來的六塊蛋糕，共有四個三角形，兩個四邊形。以三角形來說，底邊為16公分，而它的一個頂點在大蛋糕的正中心，所以底邊上的高就是原本大蛋糕邊長24公分的一半，為12公分，三角形的面積是：
16×12÷2＝96平方公分
四邊形怎麼算面積呢？試看看把一個四邊形拆成兩個三角形，如下圖虛線所示，是不是就能計算了？你會發現，四邊形分割成的兩個三角形，底邊都是8，高度同樣也是12。所以小三角形的面積是：
8×12÷2=48 平方公分
兩個小三角形合起來是96平方公分，跟其他四個三角形一樣大。我們用數學證明出蛋糕的確均分為六等分了！
以平分周長的方式切正方形蛋糕，無論把蛋糕切分成幾等分，都可以切成三角形或四邊形，四邊形又可以分為兩個三角形。所有三角形的高，都是大蛋糕中心點到邊長的垂直距離。在大蛋糕周長上間隔相同距離做記號，就是為了保持三角形底邊長度一樣，或相加之後一樣。既然底和高都一樣，切分出來的面積自然也一樣，因此能順利的等分正方形蛋糕。
最後，還是要提醒一下，這個方法只限於「厚度」一樣的正方形蛋糕，如果你的蛋糕厚薄不均，那就不保證可以公平的切分給朋友啦！
延伸學習
蛋糕切歪了！？
想像一下，如果有兩個人想平分蛋糕，要怎麼做才能讓兩人都覺得公平呢？這個問題乍看之下很簡單，把蛋糕對切就行了，但也可能有人抗議蛋糕切歪了。該怎麼分配，才能讓彼此都服氣呢？
有個好辦法可解決這個問題：讓其中一人負責切蛋糕，假設是A，另一個人先選蛋糕，假設是B。由於A必須等B選完，剩的那塊才是自己的，所以一定會盡可能把蛋糕切平均，不論選哪一塊他都覺得公平；B因為可以先選蛋糕，也就不會質疑A是否切歪了。
類似的概念，也可用來處理多人分蛋糕的狀況，只不過過程複雜許多，需要歷經大量的步驟。兩位電腦科學家在2016年提出理論，一舉解決了這個問題。
再多想想
如果是長方形蛋糕，等分邊長的策略能用嗎？或是該怎麼調整呢？
作者介紹｜賴以威
師大附中、臺大電機系畢業，現為臺灣師範大學電機系助理教授。 愛家的男人、創辦「數感實驗室」，該品牌為2016年成立於臉書的知名粉專，現更成立「數感教育有限公司」，與妻子及夥伴致力於推廣數學教育，目標是讓每個人在生活中「看見數學、愛上數學」。 賴以威從小就是資優生，在父親薰陶下接觸古文、數學，吸收多樣知識，可說是兼具理科腦與文科腦。與父親感情深厚，十多年前感懷驟然離世的父親而寫作《再見，爸爸》一書，親情至誠而文筆動人，獲得深刻的迴響。 之後為了繼承父親推廣數學教育的遺志而創辦了「數感實驗室」，以學習樂趣啟發孩子接觸數學的動機，最大的特色是透過動手做實驗來刺激孩子思考，於遊戲中建立數感。
本文經授權轉載自遠流出版《賴爸爸的數學實驗：12堂生活數感課》（原標題：正方形蛋糕怎麼平分？）
責任編輯／焦家卉
