想考進台大,運氣還是實力重要?統計學揭露殘酷現實:菁英競爭比的是運氣

2022-10-06 10:40

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想考進台大,運氣還是實力重要?(資料照/蔡親傑攝)

想考進台大,運氣還是實力重要?(資料照/蔡親傑攝)

編按:不管是學業還是運動,都有許多人汲汲營營想拚第一名,考進台大或進入奧運殿堂。能力固然重要,但《長勝》作者指出「個人能力的矛盾」,也就是能力愈強,運氣對考試、比賽結果的影響力就愈大。為什麼?

雙罐模型

想像你有兩個裝滿球的罐子。每顆球上面都有一個號碼,就像樂透彩一樣。其中一個罐子的球代表個人能力,另一個罐子的球則代表運氣。數字越大越好。你從一個罐子拿出一顆代表能力的球、再從另一個罐子拿出一顆代表運氣的球,然後把兩個號碼加起來得到一個數字(見圖表3-2)。

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圖表3-2:運氣與能力的分配曲線(圖/八旗文化)
圖表3-2:運氣與能力的分配曲線(圖/八旗文化)

如果要表達一個完全仰賴個人能力的活動,我們可以把運氣罐子裡的球全部換上0。如此一來,只有代表個人能力的球才會被計入。如果我們要一個完全靠運氣的活動(例如輪盤),我們就把另一個罐子的球全部換成0。

然而,事實上大多數的活動其實都混雜了能力與運氣。

我們可以用一個簡單的例子來說明。假設代表能力的罐子裡只有三個號碼:–3、0 和3;代表運氣的罐子則有–4、0 和4。我們很快可以列出所有可能性:–7 代表著能力最差、運氣不佳;7 則是結合了卓越能力與好運氣(見圖表3-3)。當然,我們想要分析的真實狀況遠比這個例子複雜許多,但這些數字已經足以說明幾個重點。

圖表3-3:簡單的雙罐模型(圖/八旗文化)
圖表3-3:簡單的雙罐模型(圖/八旗文化)

因此,就算能力很強,但如果運氣的影響夠大,且從罐子中拿求的次數很少的話,還是有可能得到很低的分數。舉例來說,如果你的能力有3 分、但你從運氣罐抽到了–4,那麼運氣的影響便超過了能力,你便得到–1。你也可能完全沒有能力卻得到好結果。你的能力低到只有–3,但運氣卻有4,加起來分數仍然是1,結果不算差。

當然,隨著你增加樣本數量,這種效果也跟著消退。你可以這樣想:假設你的能力指數一直穩定維持在3 分。你只從運氣的罐子抽籤。短期來看,你可能會抽到一些代表好運氣或壞運氣的數字,這種效應可能會維持一段時間。不過把時間拉長的話,你抽出的運氣號碼期望值將是0,因為球的號碼是0、4和–4,剛好平均為0。最後,你的能力,也就是0,終究會顯現出來。

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能力越強,運氣越重要

這個概念同樣適用於我所謂的「個人能力的矛盾」。隨著個人能力持續提升,個人表現會變得比較穩定,因此運氣就變得更重要。哈佛大學知名古生物學家史蒂芬.傑伊.古爾德(Stephen Jay Gould)用這個概念來解釋,為何自泰德.威廉斯(Ted Williams)1941年在大聯盟紅襪隊創下整季0.406的打擊率記錄後,再也沒有球員的打擊率可以維持在四成以上。古爾德先提到幾個常見的解釋。首先,夜間比賽、長途舟車勞頓、人才流失、投手變強,都使得打者受到壓抑。儘管這些因素或許都有一些影響,但都不足以解釋為何無法達到四成打擊率。另一個可能是,威廉斯不僅是那個年代最強的打者,甚至比之後至今的球員都還要強。古爾德馬上否定這個說法,因為證據顯示,只要是能夠用數字測量的運動,球員的長期表現都會逐漸進步。威廉斯當年固然是非常優秀的球員,但放在今天的大聯盟,恐怕也很難如此大放異彩。

乍看之下,這似乎說不通。但是,1941年之後,棒球圈的進步似乎沒有像其他運動這麼明顯,因為過去幾十年球員的平均打擊率一直相對穩定,維持在0.260到0.270之間。不過,在這個穩定的數據下,其實隱藏了兩個重要的發展。首先,打擊率反映的不只是打者的個人能力,而是投手與打者的互動。這就像比腕力一樣。由於投手與打者的能力絕對值都往上提升,因此彼此的相對關係就維持不變。雖然當今的投手與打者可能都是歷史上的一時之選,但他們的進步是步調一致的。但這種同步發展並非完全由自然決定。大聯盟的高層其實會插手其中。例如,1960年代末,當時因為投手太強、壓過了打者,所以他們改變了規則,包括降低投手丘高度五英寸、同時縮小裁判的好球帶,讓打者可以有更好表現。因此,投手與打者之間的平衡,其實反映了球員的自然演進,當中也有聯盟官方一定程度的介入。

古爾德提到,現在之所以沒有四成以上打擊率的打者,是因為所有職業球員的能力都提升了,因此最好球員與最差球員之間的差距也縮小了。過去60年來,球員訓練大幅精進,也使得能力差異變小。此外,聯盟開始吸收外籍球員,擴大人才庫。來自多明尼加和墨西哥的球員,例如山米.索沙(Sammy Sosa)和費南多.瓦倫蘇瑞拉(Fernando Valenzuela)帶來了更高的技術層次。同時,運氣依然扮演重要角色,決定個別球員的打擊率。當投手的球一出手,我們依舊難以預測打者(不論能力多強)是否能擊中球,以及球打出去後的結果為何。

用統計的術語來說,雖然打者的能力持續提升,但打擊率的變異性已經隨著時間縮小。從圖表3-4 可以看出,自1870 年代以來打擊率的標準差與變異係數之走勢。

變異性即是標準差的平方,所以標準差與變異性的下降是同步發生的。變異係數是將標準差除以所有打者的打擊率平均數,可以看出個別打者的打擊率距離聯盟平均的發散程度。數據顯示,過去幾十年來打擊率正逐漸趨於集中。古爾德研究的是打擊率,但其實其他相關統計數字也有同樣趨勢。舉例來說,投手自責分率(也就是看投手每九局會出現的自責分)的變異係數也在過去幾十年來呈現下滑。

變異性的下滑可以解釋為什麼再也沒出現打擊率四成以上的打者。由於每個人都進步了,所以其實沒有人能明顯勝出。威廉斯在那個年代是個菁英打者,而且球員的變異性夠大,讓他可以得到如此高的打擊率。如今,因為變異性大幅減低,因此菁英打者要達到這樣的打擊率,可能性微乎其微。如果威廉斯帶著1941年時的打擊能力來到今日的大聯盟,他的打擊率恐怕根本無法靠近四成大關。要在大聯盟打中球,可以說是所有運動中最艱難的任務之一。

大聯盟投手的球速上看每小時一百英里,加上進壘時可能有內外角與高低差異,使得任務變得更複雜。能力的矛盾就顯現在:雖然現在大聯盟球員的能力都比過去提升,但現在能力對打擊率的影響力卻不如過往。這是因為打者的成功與失敗之間,是由出棒位置的些微之差,以及出棒速度的毫秒之別所決定,這是充滿爆發力、甚至接近全自動的揮擊動作。但因為所有人的能力都比以前提升,因此運氣的變化也變得更加重要。

你應該已經知道,如何把個人能力的矛盾應用在其他的競爭活動。舉例來說,一間公司可以加強自己的絕對表現,但如果其他公司也做一樣的事的話,那麼大家還是會維持原有的競爭平衡。或者是,假如股票價格完全反映了市場上所有的資訊,那麼投資人能否正確預測股票漲跌,就交由運氣決定了。如果商業、體育與投資市場中的人都複製所謂的「最佳做法」,那麼運氣將會有更大的影響力。

至於運氣成分低、甚至不帶運氣的活動,個人能力的矛盾將會導出一個明確且可驗證的預測:隨著時間拉長,絕對表現將逐漸接近人類能力的極限,例如跑一英里所需的時間。當最優秀的競爭者逐漸接近這個極限,他們的相對表現就會開始收斂集中(見圖表3-5)。隨著時間過去,圖片會從左邊轉化成右邊。個人能力的平均值逐漸往極限靠攏,而且隨著變異性降低、分布曲線的右尾會變得更陡,大家的表現也會越來越接近。

圖表3-5:個人能力的矛盾導致結果趨於集中(圖/八旗文化)
圖表3-5:個人能力的矛盾導致結果趨於集中(圖/八旗文化)

我們可以測試這個預測,看其是否成立。就以馬拉松來說好了,這是個歷史最悠久、也是最受歡迎的活動。馬拉松的距離是26英里又385碼。這是1896年奧運會的原始比賽項目;在更早的150年前,傳說中希臘人菲底皮底斯(Pheidippides)從馬拉松戰場一路跑到雅典,因為他的國家在馬拉松這個地方打敗了波斯人。當菲底皮底斯抵達目的地時,他高喊「我們贏了!」然後就筋疲力盡、倒下死亡。

運動電視台ESPN的運動科學(Sports Science)節目主持人約翰.布蘭卡斯(John Brenkus) 在他的著作《完美極限》(The Perfection Point)中談到人類表現的極限。他考量了幾個生理因素之後,總結道人類跑馬拉松的最快速度就是1小時57到58分鐘。在寫這本書的時候,馬拉松的世界記錄保持人是由肯亞選手派翠克.馬考(Patrick Makau)所保持,時間是2小時3分鐘又38秒。所以根據布蘭卡斯的估計,馬考的記錄比人類極限還要慢5分鐘40秒。

圖表3-6可以說明,從1932年到2008年間,奧運男子馬拉松比賽的兩種結果。第一個是優勝者所花的時間。這些年來,優勝者的表現進步了大約25分鐘。換算下來,參賽者跑每英里的時間幾乎縮短了1分鐘;這是非常顯著的進步(有在跑步的人都會明白),儘管人類花了四分之三個世紀才達到這記錄。這份圖表也顯示了金牌得主與排名第20名的的差異。這裡也出現了「個人能力的矛盾」,差距從1932年的40分鐘下降到2008年的9分鐘。也就是說,當每個人的能力都進步之後,排名第20的跑者與冠軍的差異,也跟著縮小了。

雙罐模型說明,如果運氣分布的變異性,超過個人能力分布的變異性,那麼短期內運氣的影響力的確有可能超過個人能力。換言之,如果每個人都變強了,那麼輸贏反而是由運氣所決定。

作者介紹:麥可.莫布新(Michael J. Mauboussin)

摩根史坦利旗下協成環球團隊(Counterpoint Global)首席研究顧問、聖塔菲研究院(Santa Fe Institute)董事會名譽主席、哥倫比亞商學院兼任教授,曾任藍山資本(BlueMountain Capital)研究主管、瑞士信貸(Credit Suisse)全球金融戰略主管。多次入選機構投資者團隊和華爾街日報明星人物。

莫布新的工作主要是協助客戶端進行投資配置與投資估值、競爭戰略分析和擔任決策顧問等項目,分析領域橫跨金融、競爭策略、心理學,以及複雜系統理論。美國《商業週刊》曾於年度美國最佳商學院中,將其評比為「年度傑出教授」,同年僅七位教授獲得。


本文經授權轉載自八旗文化《長勝:靠運氣贏來的,憑實力也不會輸回去,常春藤名校「模型思維」課程指定必讀》

責任編輯/郭家宏

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